Sommersemester 2007 - Vorlesung über Modulformen


Hier ist die aktuelle Version des Skripts.

Die Theorie der Modulformen ist ein zentrales Gebiet der Zahlentheorie, das von den großen Funktionentheoretikern des 19. Jahrhunderts, Jacobi, Eisenstein, Weierstraß, Riemann etc., begründet wurde. Aber auch in der modernen Zahlentheorie ist es von größter Bedeutung; so haben Modulformen eine entscheidende Rolle beim Beweis des großen Fermatschen Satzes gespielt.

Die Vorlesung versteht sich als eine elementare Einführung in die klassische (d.h. komplexe) Theorie der Modulformen. Die Darstellung wird aber so gehalten sein, dass die Sprache sehr nah an der modernen (d.h. algebraisch geometrischen) liegt.

Die Vorlesung beginnt mit einem Überblick über die Anwendungen von Modulformen in der Zahlentheorie, sowohl der klassischen als auch der modernen. Wir werden danach zunächst komplexe elliptische Kurven und elliptische Funktionen eingeführen. Deren Studium führt uns dann in natürlicher Weise zu Modulformen der Stufe 1. Als Beispiele werden wir u.a. Eisenstein-Reihen, Theta-Reihen und die Delta-Funktion, deren Koeffizienten die Ramanujan-Funktion beschreibt, kennen lernen. Dabei werden wir sehen, dass wir eine Modulform als eine Abbildungsvorschrift auffassen können, die einer komplexen elliptischen Kurve eine Zahl zuordnet. Diese Abbildungsvorschrift ist holomorph in einem Sinne, den wir im Zusammenhang mit Modulkurven einführen werden. Des Weiteren werden wir kurz Modulformen höherer Stufe und die zugehörigen Modulkurven besprechen und Dimensionsformeln herleiten. Als wunderschöne zahlentheoretische Anwendung werden wir u.a. eine Formel für die Anzahl der Möglichkeiten ableiten, eine natürliche Zahl als Summe von 4 bzw. 8 Quadraten darzustellen. Schließlich soll die besonders wichtige Theorie der Hecke-Operatoren dargestellt werden. Mögliche weitere Themen sind das Petersson-Skalarprodukt, Poincaré-Reihen und der Eichler-Shimura-Isomorphismus.

Literatur

Vorkenntnisse

Es werden nur Standardwissen der Funktionentheorie (komplexe Analysis) und Grundbegriffe der Algebra vorausgesetzt. Bei Bedarf werden diese wiederholt.

Leistungsnachweis

Ein Leistungsnachweis kann durch Bestehen einer mündlichen Prüfung im Anschluss an die Vorlesung erworben werden. Übungsaufgaben werden auf Wunsch gestellt. Ein regelmäßiger Übungsbetrieb findet nicht statt.

Perspektiven

Wer mit dem Gedanken spielt, in der Zahlentheorie seine Diplom- oder Staatsarbeit zu verfassen, ist in dieser Vorlesung genau richtig. Eine Fortführung der Vorlesung, eventuell im Rahmen eines Seminars, wird angestrebt. Danach können Themen für Diplom- und Staatsarbeiten vergeben werden.


Last modification: 8 August 2007.